Oldukca uzun bir aradan sonrasında gene siz sevgili okuyucularımla buluşmanın mutluluğu içerisindeyim. Bundan sonrasında fazlaca güzel yazılarla daha planlı bir halde birlikte olacağım. Bu yazıyı 14 Mart’ta yazıyorum ve ilk olarak Dünya PI gününüz mübarek olsun.
Bu gün de gene PI benzer biçimde mühendislikte ve matematikte sıkça kullanılan bir sabitten, E sayısı şu demek oluyor ki Euler sabitinden bahsedeceğiz.
2.718281828459045235360287471352662497757247…..
“e”uler sayısı matematikte, mühendislikte, naturel bilimlerde sıkça kullanılan bir sayıdır. Naturel logaritmanın tabanıdır ve irrasyoneldir. Sonlu sayıda rakamla yazılamaz. Tıpkı PI sayısı benzer biçimde…
Naturel Logaritma nedir?
Tabanı e sayısı olan logaritmalara naturel logaritma denir. log(x) yada ln(x) diye gösterilir. Müdafa sanayisinde, mühendislik uygulamalarında, pH değerlerinde sık sık bu logaritma türüne başvurulur.)
Bu sayıya tarihte ilk olarak değinen Matematikçi İskoç John Napier’dir.
Fakat üstünde fazla durmamıştır. Tarihte ise bu sayıya gerçek olarak ilk değinen şahıs Jakob Bernoulli ‘dir. Fakat adını Bernoulli ‘nin çalışmalarını inceleyen Euler’den alır. Euler bu sayının ilk kez hatasız olarak 23 basamağını hesaplamıştır.
E sayısı bulunuşu
“e” sayısının bulunuşu 17.yüzyıla dayanmaktadır. Coğrafi keşiflerle birlikte insanoğlu yeni bölgeler keşfetmişler, birbirleriyle daha fazlaca etkileşime geçmişlerdir. Bunun sonucu olarak da tecim gelişmiş, insanoğlu ticarete daha ehemmiyet vermişlerdir.
Doğal olarak tecim olan yerde matematik eğer olmazsa olmaz. Şundan dolayı ihtiyaçtan doğan problemlere devamlı en büyük yanıtı matematik vermiştir. Bernoulli de bir bileşik faiz problemi sonucu “e” sayısını bulmuştur.
Problemden bahsedecek olursak;
Mesela 100 TL paramız bulunduğunu düşünelim. Bir banka senelik %5 bileşik faizde bankaya yatıracak olursak bir yılda paramız 105 TL olur. İkinci yılda 105*1,05 olur. Her yıl yeni fiyattan faiz işler ve para gittikçe büyür.
Şimdi de 1 TL paramız bulunduğunu düşünelim;
- **Yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa 1 yıl sonrasında 2 lirası olur.
- **6 ayda bir %50 faiz veren bir bankaya yatırırsa 1 yıl sonrasında 2,25 lirası olur.
- **3 ayda bir %25 faiz veren bir bankaya yatırırsa 1 yıl sonrasında 2,44… lirası olur.
- **Ayda bir %8,33… faiz veren bir bankaya yatırırsa 1 yıl sonrasında 2,6130… lirası olur.
- **Ve aynı şekilde haftada bir işleyen faiz sonunda 1 yıl sonrasında 2,6925… lirası olur.
- **Her gün işleyen faizi hesapladığımızda ise 1 yıl sonrasında 2,71453… lirası olur.
Bunu formüle dökmeye çalıştığımızda karşımıza;
n’e 10.000, 100.000 benzer biçimde fazlaca büyük değerler verdiğinizde (10.000 için 2.71815, 100.000 için 2.71827) e sayısına yaklaşmış olmuş olursunuz. Burada n kıymeti faiz süresidir.
Faiz süresiyle birlikte sonsuza giderken bu formülün limitini aldığımızda bizlere “e” sayısını verir.
Bu sorun benzer biçimde başka bir sorun de şapka problemidir. Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane satın alan düşünelim. Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ilişkin bulunduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:
Buradaki “e” sayısı büyüdükçe toplam kıymeti 1 / e sayısına yaklaşacaktır. “e” sayısı ile PI sayısı içinde da fazlaca garip bir bağlantı vardır. Bildiğiniz gibi ki Pisagor Bağıntısı bizlere dik üçgenlerde kısa kenarların karelerinin toplamının, uzun kenarın karesine eşit bulunduğunu söyler.
şu demek oluyor ki;
a2 = b2 + c2
e sayısı ile pi sayısı içinde da üçüncü bir sabitle birlikte “FI (Altın Sabiti, Bunun için altın oran yazımı okuyabilirsiniz.)” sabiti içinde şu şekilde güzel bir ilişki vardır.
Bununla beraber;
Bu formül Euler Denklemleri ‘nden birisidir. Ve bu formül yardımıyla biz evimizde radyo dinleyebiliyoruz. Müzik dinleyebiliyoruz. Frekanslar üstünde oynamalar yapabiliyoruz.
Matematiğin gölgesinde dinlenmeniz dileğiyle,
Bizimle Kalınca,
Bilimle Kalınca…